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GRE数学中的“世界第8大奇迹”

GRE数学中的“世界第8大奇迹”

1109字 | 建议阅读时间2.5分钟


我在美国的时候上过一门关于个人理财投资的课,这门课充分展现了美国人精明的金钱观。开学第一节课上,教授的PPT上有这样一句话:


Compound interest is the 8th wonder of the world. 

– Albert Einstein


后来我查了一下,爱因斯坦应该没说过这句话。也没有人官方认证过“复利是世界第8大奇迹”。但这种浓浓的中二气息,已经足以表现“复利”在实际生活中的重要性。

其实复利说的是金钱的时间价值,这也是我在这节课上学到的最核心的一点。在不同时间点上的相同价格,换算到今天的价值其实是不同的。比如马国的红包5000元,在3个月前给就比在今天给的价值要高。

 

对于考GRE的同学,最少应该知道一个公式——复利条件下的本息和公式:

GRE数学中的“世界第8大奇迹”

其中:

P: principal,本金

i: annual interest rate,(名义)年利率

n: compounded n times per year,每年复利的次数

t: time period,总计息时间(年)

F: value of investment,投资的终值,即到期时的本息和

 

这里需要注意的是,在GRE数学的题目中,条件所给的“interest rate”都是名义利率或者挂牌利率,这意味着同一投资的年利率与月利率的对应关系就是“月利率=年利率/12”。

 

前几天的325班答疑,有同学问了微臣数学500题中的一个题目:

If $5,000,000 is the initial amount placed in an account that collects 7% annual interest, which of the following compounding rates would produce the largest total amount after two years?

A. compounding annually

B. compounding quarterly

C. compounding monthly

D. compounding daily

E. All four of these would produce the same total


实际上问的是在本金(P)、年利率(i)、计息时间(t)相同的情况下,年计息次数(n)对于投资终值(F)的影响。

同学的疑惑在于公式中的n同时出现在了底和指数里,那么不同底、不同指数的数字怎么判断大小呢?

其实这道题并没有从数学上考查比大小的意思,毕竟这涉及的数学知识超出了GRE考试的范围。这道题实际上在考你一个常识——在名义年利率相同时,复利次数越多,投资的终值越大。

 

BONUS

给大家算了一下这道题里ABCD四个选项对应的终值:

Compounding annually (n=1): 5,350,000.00

Compounding quarterly (n=4): 5,359,295.16

Compounding monthly (n=12): 5,361,450.40

Compounding daily (n=365): 5,362,504.92


仔细观察可以发现,虽然从月复利到日复利的复利次数增长了很多(从12到365),但终值并没有很大增长。其实在利率一定时,增加复利次数会使终值增加,但也是有上限的。(学过微积分的同学可以把这个上限算出来吧~)

 

在GRE数学中,我们对“复利”有了理性认识,我们甚至可以用它来指导我们的生活。


前两天,琦叔推荐了李笑来的《财富自由之路》。书中将每个人的未来成长比作了一条“复利式增长曲线”。我们的智力、经验也是具有时间价值效应的,同样也符合复利式的指数型增长。而这种增长模式注定让你的收获在一开始是没有明显变化的,而在一段时间后,曲线会极速上扬。而出现极速增长的突破点,就是我们必须投入的学习与时间成本。在达到这个成本线之前,我们会感受到逆境与困惑。一般人可能会在遇到困难时,甩锅给“水逆”,然后放弃梦想,但明白这个学习积累的道理之后,我们最终可能会享受到终身学习的巨大价值。想实现自我突破,需要一步步积累,实现每一个小目标,比如拿到GRE数学满分


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GRE数学中的“世界第8大奇迹”

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